home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ The Beauty of Chaos / Beauty of Chaos, The - Vol. 1 (1995)(Schatztruhe)[!][Amiga-Mac-PC].iso / doc / theorie.iso < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1994-12-23  |  3.2 KB  |  59 lines
  1. Alle Bilder der vorliegenden Edition sind Ausschnitte mit bis zu
  2. 10-billionenfacher Vergr÷▀erung aus dem Rand der
  3. Mandelbrotmenge. Diese Menge ist benannt nach dem Mathematiker Benoit B.
  4. Mandelbrot, der als erster ihre fraktale, selbstΣhnliche Struktur
  5. entdeckte und damit den Grundstein fⁿr die Fraktalgeometrie
  6. legte.
  7.  
  8. Es handelt sich dabei um die zusammenhΣngende Teilmenge von Punkten c
  9. der komplexen Zahlenebene, fⁿr die
  10.  
  11.                       2
  12.      |Z |  mit  Z  = Z    + c  und  Z  = (0,0)
  13.      | n|        n    n+1            0
  14.  
  15. fⁿr n gegen unendlich beschrΣnkt bleibt. Da die Iteration, die zum
  16. Feststellen der Zugeh÷rigkeit notwendig wΣre, in der Praxis nur endlich
  17. oft durchgefⁿhrt werden kann, wird eine maximale Iterationstiefe 
  18. festgelegt. Diese betrug bei den vorliegenden Bildern bis zu 65000.
  19. Wurde der Ausgangspunkt bis zum Erreichen dieser maximalen
  20. Tiefe noch nicht ausgeschlossen, so wird er als der Menge zugeh÷rig
  21. angenommen und im resultierenden Bild schwarz eingefΣrbt.
  22. Die Hauptform der Menge erinnert in ihrem Aussehen an zu einer
  23. MΣnnchenform zusammengesteckte Kugeln oder ─pfel - daher wird sie
  24. hΣufig auch ApfelmΣnnchen genannt. Diese Grundform findet sich auf
  25. Grund der SelbstΣhnlichkeit in vielen Bildern wieder.
  26.  
  27. Der Ausschluss von Punkten stⁿtzt sich auf eine Eigenschaft der 
  28. Iterationsformel, welche besagt, da▀ |Zn| unbeschrΣnkt wΣchst, wenn der
  29. Punkt au▀erhalb eines Kreises mit bestimmtem Radius um den Ursprung liegt.
  30. Fⁿr die vorliegenden Bilder wurde dieser Grenzradius als 10 angenommen,
  31. d.h. die Iteration bricht ab, wenn der Punkt Zn au▀erhalb dieses Kreises
  32. zu liegen kommt - der Ausgangspunkt geh÷rt dann nicht zur Menge.
  33.  
  34. Die Bilder entstehen nun, indem fⁿr einen gewΣhlten Ausschnitt der
  35. Zahlenebene alle Punkte entsprechend der verwendeten Aufl÷sung auf ihre
  36. Zugeh÷rigkeit zur Mandelbrotmenge nach dem genannten Verfahren
  37. untersucht werden. Die nicht zur Menge geh÷rigen Punkte werden
  38. entsprechend der Iterationstiefe, bei der Ausschluss erkannt wurde,
  39. eingefΣrbt. Die Mandelbrotmenge selbst ist also in den Bildern als
  40. schwarze FlΣche zu erkennen, wΣhrend die andersfarbigen FlΣchen den
  41. Rand der Menge darstellen. In einzelnen FΣllen wurde zur besseren
  42. optischen Wirkung die Farbe Schwarz auch im Randbereich eingesetzt.
  43.  
  44. Alle Bilder mit Ausnahme von frac0000, das eine ▄bersicht ⁿber die
  45. gesamte Mandelbrotmenge darstellt, sind vergr÷▀erte Aussschnitte eines
  46. anderen Bildes. Dadurch ergibt sich insgesamt eine Hierarchie von
  47. Ausschnitten mit frac0000 als Wurzel. Die Numerierung der Bilder entsteht
  48. durch topologisches Sortieren aller Ausschnitte. In der Datei mappings
  49. ist eine Abbildung der Nummern auf Namen verzeichnet, die einen Rⁿckschlu▀
  50. auf die Stellung der Bilder innerhalb der Hierarchie erlauben. Der Name
  51. 0 bezeichnet das ▄bersichtsbild, a den ersten Ausschnitt, b den zweiten
  52. Ausschnitt usw. Der Name aa bezeichnet den ersten Ausschnitt des Bildes a,
  53. ab den zweiten. Entsprechend bezeichnet acab den zweiten Auschnitt von
  54. Ausschnitt a des dritten Ausschnitts des ersten Ausschnitts des 
  55. ▄bersichtsbildes. Zur besseren Lesbarkeit wurden mehrfach hintereinander
  56. auftretende gleiche Buchstaben durch diesen Buchstaben mit vorgestellter
  57. Anzahl abgekⁿrzt, z.B. wird so aus dem ausfⁿhrlichen Namen abaacbbb die
  58. Kurzform ab2ac3b.
  59.